Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxsin（${\frac{π}{2}$+ωx）-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值；
（II）讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，利用正弦函数的单调性分类讨论即可得解．

解答 解：（I）$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx-1=sin（2ωx-\frac{π}{6}）-1$，
因为图象两相邻对称轴间距为$\frac{π}{2}$，
所以T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1．
（II）由（I）可得：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
当x∈[0，π]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
当$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）时f（x）单调递增，此时x∈[0，\frac{π}{3}）$，
当$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）时f（x）单调递减，此时x∈[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$，
当$2x-\frac{π}{6}∈[\frac{3π}{2}，\frac{11π}{6}]时f（x）单调递增，此时x∈[\frac{5π}{6}，π]$，
所以f（x）的单调递增区间为$[0，\frac{π}{3}），[\frac{5π}{6}，π]$，单调递减区间为$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}）$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的单调性，考查了分类讨论思想，属于中档题．