Question

13．已知一个正三棱锥的正视图为等腰直角三角形，其尺寸如图所示，则此正三棱锥的体积9$\sqrt{3}$，其侧视图的周长为$5\sqrt{3}+\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 通过三棱锥的正视图的数据，推出正三棱锥的底面边长，三棱锥的高，然后求出三棱锥的斜高，侧棱长，底面上的高，即可求出此正三棱锥的体积、侧视图的周长．

解答 解：三棱锥的正视图的数据，可知正三棱锥的底面边长为6，三棱锥的高为3，
所以三棱锥的底面上的高为$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$，斜高为$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
侧棱长为$\sqrt{9+12}$=$\sqrt{21}$，
所以正三棱锥的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×36×3$=9$\sqrt{3}$
侧视图的周长为3$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+$\sqrt{21}$=$5\sqrt{3}+\sqrt{21}$．
故答案为9$\sqrt{3}$；$5\sqrt{3}+\sqrt{21}$．

点评 本题考查三视图与直观图的关系，考查空间想象能力，计算能力．