Question

5．双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别是F₁，F₂，过F2的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，若F₁A垂直F₂A，且$\overrightarrow{{F_2}B}=3\overrightarrow{A{F_2}}$，则双曲线的离心率=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设过F₂的直线为y=k（x-c），双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，联立方程组，求得A，B的坐标，运用向量共线的坐标表示和直线垂直的条件，结合双曲线的a，b，c，和离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：设过F₂的直线为y=k（x-c），
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$可得A（$\frac{kac}{ka-b}$，$\frac{kbc}{ka-b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$可得B（$\frac{kac}{ka+b}$，-$\frac{kbc}{ka+b}$），
又F₂（c，0），
由且$\overrightarrow{{F_2}B}=3\overrightarrow{A{F_2}}$，可得3（c-$\frac{kac}{ka-b}$）=$\frac{kac}{ka+b}$）-c，
化简可得ka=-2b，①
又F₁A⊥F₂A，
则$\frac{\frac{kbc}{ka-b}}{\frac{kac}{ka-b}+c}$=-$\frac{1}{k}$，即为kb²=b-2ka，②
由①②消去k，可得5a²=4b²，
由a²-b²=c²，
可得9a²=4c²，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查向量共线的坐标表示和垂直的条件，属于中档题．