Question

17．三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为4$\sqrt{2}$；直线SB与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2$\sqrt{3}$，进而根据勾股定理得到答案．建立如图所示的坐标系，利用向量方法求解即可．

解答 解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2$\sqrt{3}$，
故BC=4，∠ACB=60°
在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4$\sqrt{2}$，
建立如图所示的坐标系，则S（0，0，4），B（2$\sqrt{3}$，-2，0），A（0，-4，0），C（0，0，0），
∴$\overrightarrow{SB}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-4），$\overrightarrow{AC}$=（0，4，0），
∴直线SB与AC所成角的余弦值为|$\frac{8}{\sqrt{12+4+16}•4}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为4$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．