Question

10．已知曲线x²+y=8与x轴交于A，B两点，动点P与A，B连线的斜率之积为$-\frac{1}{2}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）MN是动点P轨迹C的一条弦，且直线OM，ON的斜率之积为$-\frac{1}{2}$．求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲线方程求出A，B的坐标，设P（x，y），结合k_APk_BP=$-\frac{1}{2}$列式求得动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线MN的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线方程与椭圆方程，由根与系数的关系结合直线OM，ON的斜率之积为$-\frac{1}{2}$可得m与k的关系，进一步求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范围得答案．

解答 解：（1）在方程x²+y=8中令y=0得：x=±2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0）．
设P（x，y），则k_APk_BP=$\frac{y}{x+2\sqrt{2}}•\frac{y}{x-2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
动点P的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线MN的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OMk_ON=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
得m²=4k²+2，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2≤$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜2，
故$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值为-2．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量数量积的求法，是中档题．