Question

6．在平面直角坐标系中不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{y≤x+1}\\{y≥a}\end{array}\right.$，所表示的平面区域的面积是$\frac{3}{4}$．
（1）求出实数a的值，并在直角坐标系画出此平面区域；
（2）若z=x+2y，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出实数a的值，并在直角坐标系画出此平面区域；
（2）若z=x+2y，求z的最大值和最小值．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
∵平面区域的面积是$\frac{3}{4}$．
∴a＜2，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=4}\\{y=a}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4-a}{2}}\\{y=a}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4-a}{2}$，a），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=a}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=a-1}\\{y=a}\end{array}\right.$，即A（a-1，a），
则|AC|=$\frac{4-a}{2}$-（a-1）=$\frac{6-3a}{2}$，
则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{6-3a}{2}$×（2-a）=$\frac{3}{4}$（2-a）²=$\frac{3}{4}$，
得（2-a）²=1，即2-a=1或2-a=-1，
即a=1或a=3（舍）；
（2）由z=x+2y，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，平移直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由平移可知当直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点A（1，0）时，直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此时z取得最小值，得z=1，
当直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点B（1，2）时，直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此时z取得最大值，z=1+2×2=1+4=5
即z的最大值是5，最小值是1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象结合三角形的面积求出a的值以及利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．