Question

20．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0证明△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）利用共线向量基本定理可得$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OA}$（λ∈R），求出$\overrightarrow{OQ}$的坐标，进一步求得$\overrightarrow{QB}$、$\overrightarrow{QC}$的坐标，把$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$化为含有λ的代数式，配方求得答案．

解答 解：（Ⅰ）△ABC为直角三角形．
证明如下：
∵A（1，2），B（2，3），C（-2，5），
∴$\overrightarrow{AB}=（1，1），\overrightarrow{AC}=（-3，3）$，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1×（-3）+1×3=0$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$．
即△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）由题意知，A，O，Q三点共线，
设$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OA}$（λ∈R），
则$\overrightarrow{OQ}=（λ，2λ）$，
∴$\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OQ}=（2-λ，3-2λ）$，
$\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OQ}=（-2-λ，5-2λ）$，
因此$\overrightarrow{QB}•\overrightarrow{QC}=（2-λ，3-2λ）•（-2-λ，5-2λ）$
=（2-λ）（-2-λ）+（3-2λ）（5-2λ）=5λ²-16λ+11
=$5（λ-\frac{8}{5}）^{2}-\frac{9}{5}$．
∴当$λ=\frac{8}{5}$时，$\overrightarrow{QB}$•$\overrightarrow{QC}$取得最小值$-\frac{9}{5}$，此时$\overrightarrow{OQ}=（\frac{8}{5}，\frac{16}{5}）$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．