Question

19．设方程f（x）=x-ln（ax）=0（a≠0，e为自然对数的底数），则（　　）

• A． 当a＜0时，方程没有实数根
• B． 当0＜a＜e时，方程有一个实数根
• C． 当a=e，方程有三个实数根
• D． 当a＞e时，方程有两个实数根

Answer 1

分析 讨论a的符号，得出f（x）的定义域，利用导数判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，从而判断f（x）=0的解得个数情况．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
由函数有意义得ax＞0，
（1）若a＜0，则x＜0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
当x→0时，f（x）→+∞，当x→-∞时，f（x）→-∞，
∴当a＜0时，f（x）=0一点有一解；
（2）若a＞0，则x＞0，令f′（x）=0的x=1．
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1-lna，
又x→0时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当1-lna=0即a=e时，f（x）=0只有一解x=1；
当1-lna＞0即0＜a＜e时，f（x）=0无解；
当1-lna＜0即a＞e时，f（x）=0有两解．
古选D．

点评 本题考查了方程根的个数与函数单调性、极值的关系，分类讨论思想，属于中档题．