Question

某企业有两个生产车间，分别位于边长是1km的等边三角形ABC的顶点A、B处（如图），现要在边AC上的D点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返A车间5次，往返B车间20次，设叉车每天往返的总路程为skm．（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）
（Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：
①设AD长为x，将s表示成x的函数关系式；
②设∠ADB=θ，将s表示成θ的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程s的最小值，并指出点D的位置．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的最值及其几何意义,函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）①是借助余弦定理将BD用x表示出来，然后根据s的实际意义利用x表示出来，但同时也应注意自变量x的取值范围；②借助正弦定理将AD、BD的长度用θ表示出来，然后将s利用以θ为自变量的函数表示出来，并注意自变量θ的取值范围；（Ⅱ）选择②中的函数解析式，利用导数求极值，从而确定s的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）①在△ABC中，AB=1，AD=x，∠BAD=

π

3

，由余弦定理，BD²=x²-x+1，
所以s=10x+40

x2-x+1

（0≤x≤1）．      3分

②在△ABC中，AB=1，∠BAD=

π

3

，∠ADB=θ，
∴∠ABD=

2π

3

-θ
由正弦定理得AD=

sin( 2π 3 -θ)

sinθ

=

3 cosθ

2sinθ

+

1

2

，BD=

3

2sinθ

，
则s=10（

3 cosθ

2sinθ

+

1

2

）+40×

3

2sinθ

=

5 3 (4+cosθ)

sinθ

+5（

π

3

≤θ≤

2π

3

）．      6分
（Ⅱ）选用（Ⅰ）中的②的函数关系式，s=

5 3 (4+cosθ)

sinθ

+5（

π

3

≤θ≤

2π

3

），
s′=-

5 3 (4cosθ+1)

sin2θ

，
由s′=0得，cosθ=-

1

4

，记cosθ₁=-

1

4

，
则当θ∈（

π

3

，θ₁）时，cosθ＞-

1

4

，s′＜0；当θ∈（θ₁，

2π

3

）时，cosθ＜-

1

4

，s′＞0；
所以当cosθ=-

1

4

，时，总路程s最小值为15

5

，
此时sinθ=

15

4

，AD=

5- 5

10

，
答：当AD=

5- 5

10

km时，总路程s最小，最小值为15

5

+5km．         13分

点评：本题考查正弦定理、余弦定理、函数的极值与最值，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．