Question

已知向量

m

=（a，b），

n

=（sin2x，2cos²x），若f（x）=

m

•

n

，且f(0)=8，f(

π

6

)=12．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合；
（3）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意可知f（x）=asin2x+2bcos²x．由f（0）=2b=8，解得b．再利用f(

π

6

)=asin

π

3

+2bcos2

π

6

=

3

2

a+8×

3

4

=12，解得a即可．
（2）由（1）可知f(x)=4

3

sin2x+4cos2x+4，利用两角和的直线公式可得f(x)=8sin(2x+

π

6

)+4．当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，sin(2x+

π

6

)取得最大值1，即可得出f（x）_max．
（3）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）由题意可知f（x）=asin2x+2bcos²x
由f（0）=2b=8，解得b=4．
由f(

π

6

)=asin

π

3

+2bcos2

π

6

=

3

2

a+8×

3

4

=12，解得a=4

3

．
（2）由（1）可知f(x)=4

3

sin2x+4cos2x+4=8(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+4
∴f(x)=8sin(2x+

π

6

)+4．
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，sin(2x+

π

6

)取得最大值1，
∴f（x）_max=8×1+4=12
此时x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（3）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和的正弦公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．