Question

（满分14分）已知函数,（），若同时满足以下条件：

①在D上单调递减或单调递增；

②存在区间[]D,使在[]上的值域是[]，那么称（）为闭函数．

（1）求闭函数符合条件②的区间[]；

（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间[]；若不是请说明理由；

（3）若是闭函数，求实数的取值范围.

（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增还是减函数即可）

Answer 1

（1）[-1，1]；（2）不是，理由略；（3）

【解析】

试题分析：（1）易证在R上为减函数，由题意可得，可解得，（2）（反证法）假设函数是闭函数由函数单调增可得到a、b为方程的两不等实根，由此推导出矛盾来否定假设；（3）由函数的单调性得到关于a、b的两个方程，通过观察易知a、b是一个方程的两不等实根，法一：根据方程根的分布情况得到关系式解出k的范围；法二：将方程的根的个数转化为两函数的图象的交点的个数，利用图象的k的取值范围.

试题解析：（1）在R上单减，所以区间[]满足

解得

（2）不是．（反证法）假设是闭函数，又因在R上单增，

所以存在区间[]使得，

则方程有两不等实根，即有两个不等的实根，等价于至少有2个零点，

令，则易知为R上单调递增函数，且，，所以在有零点，由在R上单调递增，知在R上有且只有一个零点，矛盾。所以假设不成立，即不是闭函数。

（3）（法一）易知在上单调递增.

设满足条件②的区间为，则方程组

有解，

即方程至少有两个不同的解

也即方程有两个都不小于的不等根.

得，即为所求.

（法二）易知在上单调递增.

设满足条件②的区间为，则方程组

有解，

即方程至少有两个不同的解

令

则

即函数 的图象与直线至少有两个不同交点,

如图有

考点：函数的性质与应用