【题目】如图,在四棱锥中,底面
是菱形,且
.点
是棱
的中点,平面
与棱
交于点
.
(1)求证:∥
;
(2)若,且平面
平面
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)推导出,从而
平面
,由此能证明
.
(2)取中点
,连接
,
,以
为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:∵是菱形,∴
,
又平面
,
平面
,
∴平面
,
∵四点共面,且面
面
,
∴.
(2)解:取中点
,连接
,
,
∵,∴
,
∵平面平面
,平面
平面
,
∴面
,
∴,在菱形
中,∵
,
,
是
中点,
∴,
如图,以为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,
由得,
,
,
,
,
,
.
又∵,点
是棱
中点,∴点
是棱
中点,
∴,
,
,
设平面的法向量为
,
则有,
,取
,则
.
∵平面
,∴
是平面
的一个法向量,
,二面角
的余弦值为
,
∴平面与平面
所成的二面角的余弦值为
.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= .
(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若PM=3MC,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣4x+a+3,a∈R. (Ⅰ)若函数y=f(x)的图象与x轴无交点,求a的取值范围;
(Ⅱ)若函数y=f(x)在[﹣1,1]上存在零点,求a的取值范围;
(Ⅲ)设函数g(x)=bx+5﹣2b,b∈R.当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使得f(x1)=g(x2),求b的取值范围.
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【题目】小李从网上购买了一件商品,快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门,已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时,如果小李未到家,则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家,则快递员等小李回来;否则,就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(9),f(27)的值
(2)解不等式f(x)+f(x﹣8)<2.
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