Question

12．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱D₁D的中点，P，Q分别为线段B₁D₁，BD上的点，且3$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=$\overrightarrow{P{D}_{1}}$，若PQ⊥AE，$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{DQ}$，求λ的值．

Answer 1

分析 根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出向量$\overrightarrow{PQ}$与$\overrightarrow{AE}$，由PQ⊥AE得$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0，求出点Q的坐标，得出$\overrightarrow{BD}$与$\overrightarrow{DQ}$的关系，即得λ的值．

解答 解：建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则点D（0，0，0），点A（1，0，0），B（1，1，0），
E（0，0，$\frac{1}{2}$），D₁（0，0，1），B₁（1，1，1）；
又3$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=$\overrightarrow{P{D}_{1}}$，
∴P（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$，1）；
设Q（x，x，0），则$\overrightarrow{PQ}$=（x-$\frac{3}{4}$，x-$\frac{3}{4}$，-1），
$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$）；
又PQ⊥AE，∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{AE}$=0，
即-（x-$\frac{3}{4}$）-1×$\frac{1}{2}$=0，
解得x=$\frac{1}{4}$，
∴点Q（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，0）；
∴$\overrightarrow{BD}$=-4$\overrightarrow{DQ}$，
∴λ=-4．

点评 本题考查了空间向量坐标表示与数量积的应用问题，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，表示出对应的向量，是中档题目．