Question

【题目】如图，已知在四棱锥S﹣AFCD中，平面SCD⊥平面AFCD，∠DAF＝∠ADC＝90°，AD＝1，AF＝2DC＝4，，B，E分别为AF，SA的中点．

（1）求证：平面BDE∥平面SCF

（2）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明平面，平面，由此证得平面平面.

（2）取CD的中点O，连结SO，取AB的中点H，连结OH.证得两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）证明：∵∠DAF＝∠ADC＝90°，∴DC∥AF，

又B为AF的中点，∴四边形BFCD是平行四边形，∴CF∥BD，

∵BD平面BDE，CF平面BDE，

∴CF∥平面BDE，

∵B，E分别是AF，SA的中点，∴SF∥BE，

∵BE平面BDE，SF平面BDE，

∴SF∥平面BDE，

又CF∩SF＝F，∴平面BDE∥平面SCF．

（2）取CD的中点O，连结SO，

∵△SCD是等腰三角形，O是CD中点，∴SO⊥CD，

又平面SCD⊥平面AFCD，平面SCD∩平面AFCD＝CD，

∴SO⊥平面AFCD，取AB的中点H，连结OH，

由题设知四边形ABCD是矩形，∴OH⊥CD，SO⊥OH，

以O为原点，OH为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，1），

∴（1，﹣2，0），（0，﹣1，1），（1，0，0），

设平面ASC的法向量（x，y，z），

则，取y＝1，得（2，1，1），

设平面BSC的法向量（x，y，z），

则，取y＝1，得（0，1，1），

∴cos，

由图知二面角A﹣SC﹣B的平面角为锐角，

∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．