Question

【题目】设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．

解：由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0），

即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），

所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：

y﹣（）＝（）（x﹣x0），

则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），

设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，

则F（x0）＝0，

所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（）

当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，

∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，

当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；

∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，

∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．

若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，

当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，

故，

即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，

综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，

又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，

故答案为：．