【题目】如图，在四棱锥
中，已知棱
，
，
两两垂直，长度分别为1，2，2.若
（
），且向量
与
夹角的余弦值为
.
（1）求
的值；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题（1）以
为坐标原点，
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
，写出
，
的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于
的方程可求；（2）设岀平面
的法向量为
，根据
，进而得到
，从而求出
，向量
的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出
，从而得
和平面
所成角的正弦值.
试题解析：（1）依题意，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系
，因为
，所以
，从而
，则由
，解得
（舍去）或.
（2）易得
，
，设平面
的法向量
，
则
，
，即
，且
，所以
，不妨取
，则平面的一个法向量
，又易得
，故
，所以直线
与平面所成角的正弦值为.
考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.
学而优衔接教材南京大学出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线
上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
，若过
的动直线
与曲线相交于
两点
（1）说明曲线的形状，并写出其标准方程；
（2）是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，DC⊥平面ABC，
，
，
，P、Q分别为AE，AB的中点.
(1)证明：
平面
.
(2)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(3)求平面与平面
所成锐二面角的大小。
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
两点分别在
轴和
轴上运动，且
，若动点
满足
，动点
的轨迹为
.
（1）求的方程；
（2）过点
作动直线
的平行线交轨迹于
两点，则
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，设椭圆
的左焦点为
，左准线为
为椭圆
上任意一点，直线
，垂足为
，直线
与
交于点
．
（1）若
，且
，直线的方程为
．①求椭圆的方程；②是否存在点
，使得
？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）设直线
与圆
交于
两点，求证：直线
均与圆
相切．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的
名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：
男 | 女 | 合计 | |
无 | 40 | 35 | 75 |
有 | 15 | 10 | 25 |
合计 | 55 | 45 | 100 |
附：
.
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
据此表，可得
A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足
B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足
D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点F在y轴上，其准线与双曲线
的下准线重合．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设A(
，
)(＞0)是抛物线上一点，且AF＝
，B是抛物线的准线与y轴的交点．过点A作抛物线的切线l，过点B作l的平行线l′，直线l′与抛物线交于点M，N，求△AMN的面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆C的方程为
，离心率为
，它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点
的直线交
轴的负半轴于点
，交C于点
(
在第一象限)，且
是线段
的中点，过点作x轴的垂线交C于另一点
，延长线
交C于点
.
(i)设直线
，的斜率分别为
，
，证明：
；
(ii)求直线
的斜率的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PA=PC=2，且平面ACP⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CB⊥PD；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．
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