Question

定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示，若两正数a、b满足f（2a+b）＜1，则

b-1

a+1

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案

解答： 解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增
∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，
∴0＜2a+b＜4，∴b＜4-2a，0＜a＜2，
∴

b-1

a+1

＜

4-2a-1

a+1

=-2+

5

a+1

，
∵0＜a＜2，
∴-

1

3

＜-2+

5

a+1

＜3，
故答案为：（-

1

3

，3）．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减