Question

2．在锐角三角形ABC中，2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，c=$2\sqrt{5}$．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由锐角三角形可得C=60°；
（2）由余弦定理和基本不等式可得20=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，再由三角形的面积公式可得．

解答 解：（1）由2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0得sin（A+B）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即sin（π-C）=sinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=60°；
（2）由余弦定理得20=a²+b²-2ab•cos60°，即20=a²+b²-ab，
∵20=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时，等号成立）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sin60°≤$\frac{1}{2}$×20×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$5\sqrt{3}$，
即S_△ABC的最大值$5\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题．