Question

17．在四面体ABCD内部有一点O，满足OA=OB=OC=4，OD=1，则四面体ABCD体积的最大值为$9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由定、动结合可得，要使四面体ABCD体积最大，需OD⊥平面ABC，设O在平面ABC上的投影为G，且OG=x，求出三角形ABC的外接圆的半径，得到三角形ABC面积的最大值，代入体积公式，结合导数求得答案．

解答 解：当固定A、B、C、D四点时，要使ABCD的体积最大，则D到面ABC的距离应最大，
∵OD=1，∴D在以O为球心，以1为半径的球面上运动，
故要保证四面体ABCD体积最大，需OD⊥平面ABC，
设O在平面ABC上的投影为G，且OG=x，
则D到面ABC的距离为1+x，
又OA=OB=OC=4，
∴EA=EB=EC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，则
由正弦定理及均值不等式可得，当△ABC为正三角形时，△ABC面积最大，
则${S}_{△ABC}≤\frac{3\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）$，
∴${V}_{ABCD}≤\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）（1+x）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}（16-{x}^{2}）（1+x）$．
令f（x）=（16-x²）（1+x）=-x³-x²+16x+16，（0＜x＜4），
则f′（x）=-3x²-2x+16，
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
∴f（x）_max=f（2）=36，
则则四面体ABCD体积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}×36=9\sqrt{3}$．
故答案为：$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查棱柱、棱锥及棱台的体积，考查数学转化思想方法，考查学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用导数求最值，难度较大．