Question

5．在等比数列{a_n}中，3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差数列，则$\frac{{{a_9}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_8}}}$=3．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差数列，可得2×$\frac{1}{2}{a}_{5}$=3a₁+2a₃，化为q⁴-2q²-3=0，解出即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵3a₁，$\frac{1}{2}{a_5}，2{a_3}$成等差数列，
∴2×$\frac{1}{2}{a}_{5}$=3a₁+2a₃，
∴${a}_{1}{q}^{4}$=$3{a}_{1}+2{a}_{1}{q}^{2}$，
化为q⁴-2q²-3=0，
解得q²=3．
则$\frac{{{a_9}+{a_{10}}}}{{{a_7}+{a_8}}}$=$\frac{{q}^{2}（{a}_{7}+{a}_{8}）}{{a}_{7}+{a}_{8}}$=q²=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．