Question

16．已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上单调递增，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，给出下列判断：
①f（-3）=0；②f（x）在[1，2]上是增函数；③f（x）的图象关与直线x=1对称；④函数f（x）在x=2处取得最小值；⑤函数y=f（x）没有最大值，其中判断正确的序号是①④．

Answer 1

分析 根据偶函数的性质和条件，得出函数的周期为2，结合函数单调性，模拟函数图象，判断结论即可．

解答 解：由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（4+x）=f（x），所以函数的周期是4．
当x=0时，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因为f（5）=f（4+1）=f（1）=0，
∴f（-3）=f（1）=0所以①正确；
因为y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，f（x+2）=-f（x），所以函数在区间[1，2]单调递减，所以②不正确；
因为y=f（x）是偶函数，所以对称轴为x=0+2k，所以③不正确．
因为偶函数y=f（x）（x∈R）在区间[-1，0]上单调递增，f（x+2）=-f（x），所以函数在区间[1，2]单调递减，[2，3]单调递增，所以在x=2处取得最小值，故④正确；
显然函数的最大值为f（0）故⑤错误；
故答案为：①④．

点评 考查了抽象函数的奇偶性，单调性和周期性．需对函数性质深刻理解．