Question

20．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-2≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，则M=$\frac{y-x}{x+2}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{1}{2}$，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． [$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 令y-x=n，x+2=m，则问题转化为在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{m-n-4≤0}\\{m+2n-4≤0}\\{2m+n-5≥0}\end{array}\right.$之下，求M=$\frac{y-x}{x+2}$=$\frac{n}{m}$的取值范围，作出可行域由斜率公式数形结合可得．

解答 解：令y-x=n，x+2=m，则x=m-2，y=m+n-2，
代入已知不等式组可得$\left\{\begin{array}{l}{m-n-4≤0}\\{m+2n-4≤0}\\{2m+n-5≥0}\end{array}\right.$，
作出可行域如图△ABC，M=$\frac{y-x}{x+2}$=$\frac{n}{m}$表示区域内的点与原点连线的斜率，
联方程组$\left\{\begin{array}{l}{m-n-4=0}\\{2m+n-5=0}\end{array}\right.$可解得A（3，-1），同理可得B（2，1），
当直线经过点A时，M取最小值-$\frac{1}{3}$，当直线经过点B时，M取最大值$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查简单线性规划，换元法转化并利用数形结合的思想是解决问题的关键，属中档题．