Question

【题目】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马中，底面.

（1）已知，斜梁与底面所成角为，求立柱的长；（精确到）

（2）求证：四面体为鳖臑.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）在中，由题意知 由解得 .

（2）推导出，由此能证明BC⊥平面PDC．从而得到四面体EBCD是鳖臑．其中四个直角分别为∠BCD，∠BCP，∠PDC，∠PDB．

（1）解：因为侧棱底面，

则侧棱在底面上的射影是，

所以就是侧棱与底面所成的角，即．

在中，，

由得 ，解得 ．

所以立柱的长约为 ．

（2）由题意知底面是长方形，所以是直角三角形．

因为侧棱底面，得，

所以、是直角三角形．

因为，，又， 平面，

所以平面．

又因为 平面，所以，所以 为直角三角形．

由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑．