Question

14．已知函数f（x）=$\frac{x}{（x+2）ln（1+x）}$
（Ⅰ）当x＞0时，证明：f（x）＜$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）当x＞-1，且x≠0时，不等式（1+kx）（x+2）f（x）＞1+x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）不等式等价于$\frac{2x}{x+2}＜ln（1+x）$，令$h（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{x+2}$，利用导数求出得出h（x）的单调性得出h（x）＞0即可．
（II）不等式等价于$\frac{{（1+x）ln（1+x）-x-k{x^2}}}{ln（1+x）}＜0$，令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx²，故而g″（x）=$\frac{1}{1+x}$-2k，对x的范围进行讨论得出结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵x＞0，ln（1+x）＞0，
要证$f（x）=\frac{x}{（x+2）ln（1+x）}＜\frac{1}{2}$，只需证：$\frac{2x}{x+2}＜ln（1+x）$，
令$h（x）=ln（1+x）-\frac{2x}{x+2}$，只需证h（x）＞0即可．
∵$h'（x）=\frac{x^2}{{（1+x）{{（2+x）}^2}}}＞0$，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）＞h（0）=0，即命题结论成立．
（Ⅱ）原不等式等价于$\frac{x（1+kx）}{ln（1+x）}＞1+x$．
当x＞0时，$\frac{x}{ln（1+x）}＞0$；当-1＜x＜0时，$\frac{x}{ln（1+x）}＞0$，
原不等式等价于$\frac{{（1+x）ln（1+x）-x-k{x^2}}}{ln（1+x）}＜0$，
令g（x）=（1+x）ln（1+x）-x-kx²，
令m（x）=g'（x）=ln（1+x）-2kx，$m'（x）=\frac{1}{1+x}-2k$，
①当x＞0时，有$0＜\frac{1}{1+x}＜1$，
令2k≥1，则m'（x）＜0，故g'（x）在（0，+∞）上是减函数，即g'（x）＜g'（0）=0，
因此g（x）在（0，+∞）上是减函数，从而g（x）＜g（0）=0，
所以，当$k≥\frac{1}{2}$时，对于x＞0，有$\frac{{（1+x）ln（1+x）-x-k{x^2}}}{ln（1+x）}＜0$，
当-1＜x＜0时，有$\frac{1}{1+x}＞1$，
令2k≤1，则m（x）＞0，故g'（x）在（-1，0）上是增函数，即g'（x）＜g'（0）=0，
因此，g（x）在（-1，0）上是减函数，从而，g（x）＞g（0）=0，
所以当$k≤\frac{1}{2}$时，对于-1＜x＜0，有$\frac{{（1+x）ln（1+x）-x-k{x^2}}}{ln（1+x）}＜0$，
综上，当$k=\frac{1}{2}$时，在x＞-1，且x≠0时，不等式（1+kx）（x+2）f（x）＞1+x成立．

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．