Question

2．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）在点P（4，4）处的切线经过椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点E，椭圆C₁的短轴长与抛物线C的焦距相等．
（1）求抛物线C和椭圆C₁的方程；
（2）经过椭圆C₁左焦点F的直线l与椭圆C₁交于A，B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDE？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将P代入抛物线方程，即可求得p，求导，即可求得切线的方程，当y=0时，即可求得c的值，由2b=p=2，则b=1，a²=b²+c²=5，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由∠ADF=∠BDF，则直线AD、BD的斜率互为相反数，根据直线的斜率公式及韦达定理即可求得m的值，求得D点坐标．

解答 解：（1）由点P（4，4）在抛物线C：x²=2py上，则16=2p×4，则2p=4，
∴抛物线C的方程：x²=4y，则y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
由y′=$\frac{x}{2}$，则点P（4，4）处切线的斜率k=2，
则切线方程y-4=2（x-4），则y=2x-4，
由切线方程过椭圆的右焦点，则当y=0时，x=2，即c=2，
由椭圆C₁的短轴长与抛物线C的焦距相等，则2b=p=2，则b=1，
a²=b²+c²=5，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$；
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，
∵F（-2，0），∴要使∠ADF=∠BDF，则点D必在x轴上，
设D（m，0），直线l不垂直x轴时，l的方程设为：y=k（x+2），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
∵∠ADF=∠BDF，∴直线AD、BD的斜率互为相反数，
即$\frac{k（{x}_{1}+2）}{{x}_{1}-a}$+$\frac{k（{x}_{2}+2）}{{x}_{2}-a}$=0，
当k=0时恒成立．
k≠0时，m=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+4}$=-$\frac{5}{2}$；
∴存在定点D（-$\frac{5}{2}$，0），使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF．

点评 本题考查抛物线切线方程的求法，椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．