Question

16．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-ax，（x∈R）是偶函数，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）-k=0有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），利用对数的运算性质整理可得x=2ax对任意x∈R恒成立，则a可求；
（2）由f（x）-k=0，分离参数k，然后利用对数的运算性质结合基本不等式求得k的范围．

解答 解：（1）由函数f（x）=log₄（4^x+1）-ax，（x∈R）是偶函数，
可知对任意x，有f（-x）=f（x），
即$lo{g}_{4}（{4}^{-x}+1）+ax=lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-ax$，得$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{4}^{-x}+1}=2ax$，
∴$lo{g}_{4}{4}^{x}=2ax$，即x=2ax对任意x∈R恒成立．
得a=$\frac{1}{2}$；
（2）由f（x）-k=0得：${log_4}（{4^x}+1）-\frac{1}{2}x-k=0$，
∴${log_4}（{4^x}+1）-\frac{1}{2}x=k$，得$k={log_4}（{4^x}+1）-\frac{1}{2}x={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{2^x}={log_4}（{{2^x}+\frac{1}{2^x}}）$．
∵${2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，∴k≥2．
故要使方程f（x）-k=0有解，k的取值范围是k≥2．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查函数的零点与方程根的关系，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．