Question

11．半径为1的扇形AOB，∠AOB=120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P为弧AB上任意一点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的取值范围是[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．

Answer 1

分析 由题意，设∠POM=θ，将所求用向量$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OP}$表示，利用向量的数量积公式表示为θ的代数式，利用正弦函数的有界性求范围．

解答 解：由题意，设∠POM=θ，
则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{OP}$²
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×cos120°-1×$\frac{1}{2}$cosθ-1×$\frac{1}{2}$cos（120°-θ）+1
=-$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）+1
=$\frac{7}{8}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）
=$\frac{7}{8}$-$\frac{1}{2}$sin（θ+30°），
因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，
所以sin（θ+30°）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的取值范围是[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．
故答案为：[$\frac{3}{8}$，$\frac{5}{8}$]．

点评 本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围；关键是将所求用向量的夹角表示，借助于三角函数的有界性求范围．