Question

2．如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B到平面CDE的距离
（2）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）说明CD⊥AE，AE⊥ED，推出AE⊥平面CDE，然后求解B到平面CDE的距离．
（2）在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．设F为线段DE上的一点，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=$\frac{1}{3}CD$，
证明MF$\stackrel{∥}{=}$AB，说明四边形ABMF是平行四边形，即可说明AF∥平面BCE．

解答 （1）解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，
又AB∥CD，∴B到平面CDE的距离为AE=3$\sqrt{3}$…（6分）
（2）解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=$\frac{1}{3}CD$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$AB，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行，点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．