Question

10．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴长为2$\sqrt{2}$，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A₂为椭圆C的右顶点，点M为线段PA₂的中点，且直线PA₂与直线OM的斜率之积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F₁且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，N点的横坐标的取值范围是$（{-\frac{1}{4}，0}）$，求线段AB的长的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由2a=2$\sqrt{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，设P（x₀，y₀），A₁（$-\sqrt{2}$，0），A₂（$\sqrt{2}$，0）．由$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-2}$=-$\frac{{b}^{2}}{2}$．根据OM∥PA₁，可得${k}_{OM}={k}_{P{A}_{1}}$，于是${k}_{P{A}_{2}}•{k}_{OM}$=${k}_{P{A}_{2}}•{k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-2}$=-$\frac{{b}^{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得b²．
（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得线段AB的中点Q$（-\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，\frac{k}{2{k}^{2}+1}）$，QN的方程为：y-$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$$（x+\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）$，可得N$（-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，0）$．根据$-\frac{1}{4}$＜$-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$＜0，解得：0＜2k²＜1．利用弦长公式可得：|AB|=$\sqrt{2}$$（1+\frac{1}{2{k}^{2}+1}）$，即可得出．

解答 解：（I）由2a=2$\sqrt{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，设P（x₀，y₀），A₁（$-\sqrt{2}$，0），A₂（$\sqrt{2}$，0）．
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-2}$=-$\frac{{b}^{2}}{2}$．
∵OM∥PA₁，∴${k}_{OM}={k}_{P{A}_{1}}$，∴${k}_{P{A}_{2}}•{k}_{OM}$=${k}_{P{A}_{2}}•{k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-2}$=-$\frac{{b}^{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
解得b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）设直线l的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=$\frac{-4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{2k}{2{k}^{2}+1}$，可得线段AB的中点Q$（-\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，\frac{k}{2{k}^{2}+1}）$，
QN的方程为：y-$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$=-$\frac{1}{k}$$（x+\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）$，∴N$（-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，0）$．
∵$-\frac{1}{4}$＜$-\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$＜0，解得：0＜2k²＜1．
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）^{2}-4×\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$$（1+\frac{1}{2{k}^{2}+1}）$，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2{k}^{2}+1}$＜1，
∴|AB|∈$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．