Question

18．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为1的正方形，侧棱PD=1，PA=PC=$\sqrt{2}$．
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理逆定理可证明AD⊥PD，PD⊥CD即可得出PD⊥平面ABCD；
（2）由（1）可得PD⊥AC，结合AC⊥BD，得出AC⊥平面PBD，从而平面PAC⊥平面PBD．

解答 解：（1）∵PD=1，DC=1，PC=$\sqrt{2}$，
∴PC²=PD²+DC²，
∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，又AD∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，∵AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB．
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．

点评 本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，属于基础题．