Question

3．若f（x）=$\sqrt{k{x}^{2}-6kx+k+8}$的定义域是R，求k的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意得出不等式kx²-6kx+k+8≥0恒成立，
讨论k=0和k≠0时，利用判别式求出k的取值范围．

解答 解：f（x）=$\sqrt{k{x}^{2}-6kx+k+8}$的定义域是R，
∴kx²-6kx+k+8≥0恒成立；
当k=0时，有8≥0，恒成立；
当k≠0时，有$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=3{6k}^{2}-k（k+8）≤0}\end{array}\right.$，
解得0＜k≤1；
综上，实数k的取值范围是0≤k≤1．

点评 本题考查了函数的定义域和不等式恒成立问题，是基础题．