Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$2\sqrt{3}acsinB={a^2}+{b^2}-{c^2}$．
（1）求角C的大小；
（2）若bsin（π-A）=acosB，且$b=\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正余弦定理化简可得角C的大小；
（2）由bsin（π-A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，由$2\sqrt{3}acsinB={a^2}+{b^2}-{c^2}$，
由余弦定理：a²+b²-c²=2abcosC，
可得：2$\sqrt{3}$acsinB=2abcosC．
由正弦定理：2$\sqrt{3}$sinCsinB=sinBcosC
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴2$\sqrt{3}$sinC=cosC，
即tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{6}$．
（2）由bsin（π-A）=acosB，
∴sinBsinA=sinAcosB，
∵0＜A＜π，sinA≠0，
∴sinB=cosB，
∴$B=\frac{π}{4}$，
根据正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{{\sqrt{2}}}{{sin\frac{π}{4}}}=\frac{c}{{sin\frac{π}{6}}}$，
解得c=1，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×sinA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{π-B-C}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{\frac{π}{4}+\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}+1}}{4}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．