Question

8．已知单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow m=2\overrightarrow a-\sqrt{t-1}\overrightarrow b，\overrightarrow n=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，（t为正实数），则$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最小值为（　　）

• A． $\frac{15}{8}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\frac{15}{4}$
• D． 0

Answer 1

分析 由题意写出$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，化为关于t的函数，再由换元法求得函数值域得答案．

解答 解：由题意，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．
又$\overrightarrow m=2\overrightarrow a-\sqrt{t-1}\overrightarrow b，\overrightarrow n=t\overrightarrow a+\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$（2\overrightarrow{a}-\sqrt{t-1}\overrightarrow{b}）•（t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$
=$2t{\overrightarrow{a}}^{2}-\sqrt{t-1}{\overrightarrow{b}}^{2}+（2-t\sqrt{t-1}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$2t-\sqrt{t-1}$（t≥1）．
令$\sqrt{t-1}=s$（s≥0），则t=s²+1．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$2{s}^{2}-s+2=2（s-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$$≥\frac{15}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．