Question

3．某研究所设计了一款智能机器人，为了检验设计方案中机器人动作完成情况，现委托某工厂生产500个机器人模型，并对生产的机器人进行编号：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的机器人样本，试验小组对50个机器人样本的动作个数进行分组，频率分布直方图及频率分布表中的部分数据如图所示，请据此回答如下问题：

分组	机器人数	频率
[50，60）		0.08
[60，70）	10
[70，80）	10
[80，90）
[90，100]	6

（1）补全频率分布表，画出频率分布直方图；
（2）若随机抽的第一个号码为003，这500个机器人分别放在A，B，C三个房间，从001到200在A房间，从201到355在B房间，从356到500在C房间，求B房间被抽中的人数是多少？
（3）从动作个数不低于80的机器人中随机选取2个机器人，该2个机器人中动作个数不低于90的机器人记为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据题意填写频率分布直方图与频率分布表中的部分数据；
（2）根据系统抽样分段间隔相等，计算抽取的样本数据个数；
（3）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，
写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）根据题意，50×0.08=4，50-4-10-10-6=20，计算对应的频率，填写频率分布直方图及频率分布表，

分组	机器人数	频率
[50，60）	4	0.08
[60，70）	10	0.2
[70，80）	10	0.2
[80，90）	20	0.4
[90，100]	6	0.12

（2）系统抽样的分段间隔为$\frac{500}{50}=10$，
在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个抽到一个，
则被抽中的机器人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，
故可分别求出在001到200中有20个，在201至355号中共有16个，
（3）该2个机器人中动作个数不低于90的机器人数记为ξ，
ξ的取值为0，1，2，
所以P（ξ=0）=$\frac{{C}_{20}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{38}{65}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{20}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{24}{65}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{26}^{2}}$=$\frac{3}{65}$；
所以ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{38}{65}$	$\frac{24}{65}$	$\frac{3}{65}$

数学期望为$E（ξ）=\frac{38}{65}×0+\frac{24}{65}×1+\frac{3}{65}×2=\frac{6}{13}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，也考查了频率分布表与直方图的应用问题，是中档题．