Question

1．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点A是过F₂且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与双曲线的一个交点，若△F₁F₂A为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{3}+1$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 设点A是过F₂且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与双曲线的一个交点，由△F₁F₂A为等腰直角三角形，可得A在双曲线的左支，且AF₁⊥x轴，|AF₁|=|F₁F₂|，令x=-c，求得A的纵坐标，可得2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设点A是过F₂且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与双曲线的一个交点，
由△F₁F₂A为等腰直角三角形，可得A在双曲线的左支，
且AF₁⊥x轴，|AF₁|=|F₁F₂|，
令x=-c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即b²=c²-a²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$（1-$\sqrt{2}$舍去）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的定义，结合离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．