Question

12．在复数范围内，纯虚数i的三个立方根为-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．

Answer 1

分析 设出z=x+yi（x，y∈R），由题意可得（x+yi）³=i，展开等式左边后利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则答案可求．

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），
由z³=i，得（x+yi）³=i，
即x³+3x²yi-3xy²-y³i=i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x{y}^{2}=0①}\\{3{x}^{2}y-{y}^{3}=1②}\end{array}\right.$，
由①得，x=0或x²-3y²=0，
把x=0代入②，解得y=-1；
把x²-3y²=0代入②，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴纯虚数i的三个立方根为：-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．
故答案为：-i，$-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．