Question

13．已知a，b，c∈R⁺，则“a+b＞c”是“$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$”成立的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要而不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：设f（x）=$\frac{x}{1+x}$，则f（x）=1-$\frac{1}{1+x}$在（0，+∞）上为增函数，
则f（a+b）＞f（c），即$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，
若a+b＞c，则$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{a}{1+a+b}$+$\frac{b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，即充分性成立，
若a=1，b=1，c=2，则$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1，$\frac{c}{1+c}$=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，满足$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$，但a+b＞c不成立，
即“a+b＞c”是“$\frac{a}{1+a}$+$\frac{b}{1+b}$＞$\frac{c}{1+c}$”成立的充分不必要条件，
故选：A．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，构造函数研究函数的单调性以及利用放缩法证明不等式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．