Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a≠b，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角函数化简已知式子结合三角形内角范围可得C=$\frac{π}{3}$；
（2）由已知和正弦定理可得a=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA，b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，可得周长为2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，由三角函数公式化简可得2+4sin（A+$\frac{π}{6}$），由0＜A＜$\frac{2π}{3}$和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，
∴$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B-$\frac{1}{2}$cos2B，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=sin（2B-$\frac{π}{6}$），
由a≠b得A≠B，又A+B∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{6}$+2B-$\frac{π}{6}$=π，即A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，∴由正弦定理可得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA，
同理可得b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB，故△ABC的周长为2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinB
=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA+$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）
=2+$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinA+2cosA+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA=2+2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=2+4sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，∴4＜2+4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤6，
故△ABC的周长的取值范围为（4，6]．

点评 本题考查正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式以及三角函数的值域，属中档题．