Question

3．已知向量$\overrightarrow a$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow b$=（cosx，-1）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求tan（x-$\frac{π}{4}$）的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow b$，当x∈[0，$\frac{π}{2}}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量平行的坐标公式结合两角和差的正切公式进行求解即可．
（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，结合三角函数的单调性即可求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴$\frac{sinx}{cosx}$=$-\frac{3}{4}$，即tanx=$-\frac{3}{4}$，
则$tan（x-\frac{π}{4}）$=$\frac{tanx-1}{1+tanx}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7．
（Ⅱ）∵$f（x）=2（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow b$，
∴化简可得$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$，
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
即$f（x）∈[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}+\frac{3}{2}}]$．

点评 本题主要考查平面向量的应用，根据向量平行的坐标公式以及向量数量积的应用，是解决本题的关键．