Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜ ，则不等式f（log2x）＞ 的解集为（ ）
A.（1，+∞）
B.（0，1）
C.（0，2）
D.（2，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设g（x）=f（x）﹣ x，
∵f′（x）＜ ，
∴g′（x）=f′（x）﹣ ＜0，
∴g（x）为减函数，又f（1）=1，
∴f（log2x）＞ = log2x+ ，
即g（log2x）=f（log2x）﹣ log2x＞ =g（1）=f（1）﹣ =g（log22），
∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，
∴0＜x＜2，
则不等式f（log2x）＞ 的解集为（0，2）．
故选：C．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．