Question

1．已知定义在实数集R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=e^x，若存在t∈R，对任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤ex，则m的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤ex，即存在t∈[-2，0]，满足${e^t}≤\frac{em}{e^m}$，令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），对g（x）进行求导，求其单调性，从而求出t的值，只要证明f（x-2）=e^|x-2|≤ex对任意x∈[1，4]恒成立，即可．

解答 解：当x＜0时，-x＞0，则f（x）=f（-x）=e^-x
综上：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≥0\\{e^{-x}}，x＜0\end{array}\right.$；         
因为任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex，
故f（1+t）≤e且f（m+t）≤em，
当1+t≥0时，e^1+t≤e，从而1+t≤1，
∴-1≤t≤0
当1+t＜0时，e^-（1+t）≤e，从而-（1+t）≤1，
∴-2≤t＜-1
综上-2≤t≤0∵m≥2，故m+t＞0
故f（m+t）≤em得：e^m+t≤em
即存在t∈[-2，0]，满足${e^t}≤\frac{em}{e^m}$
∴$\frac{em}{e^m}≥{\{{e^t}\}_{min}}={e^{-2}}$，即e^m-e³m≤0
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞），则g′（x）=e^x-e³
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
又g（3）=-2e³＜0，g（2）=-e³＜0，g（4）=e³（e-4）＜0，g（5）=e³（e²-4）＞0
由此可见，方程g（x）=0在区间[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5），
且当x∈[2，m₀]时g（x）≤0，当x∈[m₀，+∞）时g（x）≥0
∵m∈Z，故m_max=4，此时t=-2，
故选：C

点评 此题主要考查利用导数研究函数的单调性以及偶函数的性质，解题的过程中用到了分类讨论和转化的思想，有一定的难度．