Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，中心为O，且底面边长和侧棱长相等，M是PC的中点，求MO与AB所成的角．

Answer 1

分析 可连接BD，AC，OP，由已知条件便知这三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设棱长为2，从而可求出图形中一些点的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}$的坐标，根据向量夹角的余弦公式便可求出cos$＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}＞$，这样便可得出MO与AB所成角．

解答 解：根据条件知，P点在底面ABCD的射影为O，连接AC，BD，PO，则OB，OC，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设棱长为2，则：
$O（0，0，0），C（0，\sqrt{2}，0），P（0，0，\sqrt{2}）$，$M（0，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$A（0，-\sqrt{2}，0），B（\sqrt{2}，0，0）$；
∴$\overrightarrow{MO}=（0，-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{MO}，\overrightarrow{AB}＞=\frac{\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MO}||\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{-1}{1×2}=-\frac{1}{2}$；
∴MO与AB所成角为60°．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求空间点的坐标，向量夹角的余弦的坐标公式，弄清异面直线的方向向量的夹角和异面直线所成角的关系．