Question

20．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{1}{2}$）有最小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 利用二次函数性质得出u（x）的最小值为：$\frac{1}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$，根据对数函数的单调性得出$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}＞0}\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：∵u（x）=x²$-ax+\frac{1}{2}$=（x-$\frac{a}{2}$）²$+\frac{1}{2}$$-\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴u（x）的最小值为：$\frac{1}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}$．
∵，函数f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{1}{2}$）有最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{1}{2}-\frac{{a}^{2}}{4}＞0}\end{array}\right.$，
即1$＜a＜\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了二次函数，与对数函数的单调性，解不等式解决问题，属于容易题，