Question

11．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{5}$，+∞）
• B． [$\sqrt{5}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{5}$）∪（$\sqrt{5}$，+∞）
• D． （1，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线y=2x有交点，则应满足：$\frac{b}{a}$＞2，通过b²=c²-a²，可得e的范围．

解答 解：如图所示，
∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，若双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1与直线y=2x有交点，则有$\frac{b}{a}$＞2，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＞4，$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$＞4，解得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞5，e＞$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑，是基础题．