Question

16．已知函数f（x）=log_a（-x²+log_2ax）的定义域是（0，$\frac{1}{2}$），则实数a的取值范围为[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 利用函数的单调性得出log_2ax＞0，0＜2a＜1，0$＜a＜\frac{1}{2}$，判断出函数g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）单调递减，转化为$-\frac{1}{4}$+log_2a$\frac{1}{2}$≥0即可求解．

解答 解：∵函数f（x）=log_a（-x²+log_2ax）的定义域是（0，$\frac{1}{2}$），
∴-x²+log_2ax＞0，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
∵-$\frac{1}{4}$＜-x²＜0，
∴log_2ax＞0，
∴0＜2a＜1，0$＜a＜\frac{1}{2}$，
∵函数g（x）=-x²+log_2ax在（0，$\frac{1}{2}$）单调递减，
∴g（x）$＞g（\frac{1}{2}）$=$-\frac{1}{4}$+log_2a$\frac{1}{2}$恒成立
∴只需$-\frac{1}{4}$+log_2a$\frac{1}{2}$≥0即可．
a$≥\frac{1}{32}$，
故实数a的取值范围为[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$），
故答案为：[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了有关系的二次，对数函数的单调性，转化思想求解函数的最值结合不等式求解，属于中档题．