Question

7．求下列各函数的最值．
（1）y=2x+$\sqrt{1-2x}$；
（2）y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）令t=$\sqrt{1-2x}$（t≥0），由二次函数的最值求法，即可得到所求最值；
（2）由定义域，可令x=3sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最值．

解答 解：（1）令t=$\sqrt{1-2x}$（t≥0），
则x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
y=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值，且为$\frac{5}{4}$，
无最小值；
（2）由y=x+4+$\sqrt{9-{x}^{2}}$可得
9-x²≥0，解得-3≤x≤3，
可令x=3sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
则y=3sinα+3cosα+4
=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+4，
由α+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
可得sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
即有α=-$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值，且为4-3=1；
α=$\frac{π}{4}$时，函数取得最大值，且为4+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查根式函数的最值的求法，注意运用换元法，运用二次函数的最值和三角函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．