Question

1．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+klnx，k＜$\frac{1}{e}$，求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性，结合函数最值和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），
则函数的导数f′（x）=$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{kx-1}{{x}^{2}}$=$\frac{k（x-\frac{1}{k}）}{{x}^{2}}$，
若k≤0，则f′（x）≤0，即函数在[$\frac{1}{e}$，e]单调递减，则最大值为f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}$+kln$\frac{1}{e}$=e-1-klne，
最小值为f（e）=$\frac{1-e}{e}$+k=$\frac{1}{e}$+k-1．
若k＞0，则由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{k}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{k}$，此时函数单调递减，
即当x=$\frac{1}{k}$时，函数取得极小值．
∵k＜$\frac{1}{e}$，∴$\frac{1}{k}$＞e，即函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]单调递减，则最大值为f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1-\frac{1}{e}}{\frac{1}{e}}$+kln$\frac{1}{e}$=e-1-klne，
最小值为f（e）=$\frac{1-e}{e}$+k=$\frac{1}{e}$+k-1．
综上函数f（x）的最大值为f（$\frac{1}{e}$）=e-1-klne，最小值为f（e）=$\frac{1}{e}$+k-1．

点评 本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，判函数的单调性是解决本题的关键．