Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f(x)=

n-g(x)

m+2g(x)

是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m、n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），利用g（3）=8，可得8=a³，解得a即可；
（2）利用奇函数的定义和性质f（0）=0，f（-x）+f（x）=0即可得出；
（3）利用（1）（2）可证明函数f（x）在R上单调递减，进而即可解出t的取值范围．

解答：解：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴8=a³，解得a=2．
∴g（x）=2^x；    
（2）f(x)=

n-2x

m+2x+1

，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=

n-1

m+2

=0，解得n=1．
∴f(x)=

1-2x

m+2x+1

，
又f（-x）+f（x）=0，∴

1-2x

m+2x+1

+

1-2-x

m+2-x+1

=0，
化为（m-2）（2-2^x-2^-x）=0，
∵上式对于任意实数都成立，∴m-2=0，解得m=2．
∴m=2，n=1； 
（3）由（2）可知：f（x）=

1-2x

2+2x+1

=

1

2

(

2

1+2x

-1)，
∵函数y=2^x在R上单调递增，∴f（x）在R上单调递减．
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，
∴f（t²-k）＞-f（2t-3t²）=f（3t²-2t）在R上恒成立，
∴t²-k＜3t²-2t在R上恒成立，
即2t²-2t+k＞0在R上恒成立．
∴△=4-8k＜0，解得k＞

1

2

．
∴k的取值范围是k∈(

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．