Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a＜5，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a-1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a-1＜1时分类讨论函数的增减性；当a-1＞1时讨论函数的增减性．
（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0即可得证．

解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

x2-ax+a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

（i）若a-1=1即a=2，则f′(x)=

(x-1)2

x

故f（x）在（0，+∞）单调增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，
故1＜a＜2，则当x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0
故f（x）在（a-1，1）单调减，
在（0，a-1），（1，+∞）单调增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，
同理可得f（x）在（1，a-1）单调减，
在（0，1），（a-1，+∞）单调增．
（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx+x
则g′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

≥2

x• a-1 x

-(a-1)=1-(

a-1

-1)2
由于1＜a＜5，故g'（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）单调增加，
从而当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1，
当0＜x₁＜x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．