Question

1．设f（x）=asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为$\sqrt{5}$，则a+b的取值范围为[-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 由条件利用辅助角公式、正弦函数的最值求得a²+b²=5，再利用基本不等式求得 （a+b）²≤10，从而求得a+b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（2x+θ）（a，b∈R），
若f（x）的最大值为$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∴a²+b²=5，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（ a²+b² ）=10，
∴-$\sqrt{10}$≤a+b≤$\sqrt{10}$，故a+b的取值范围为[-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]，
故答案为：[-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．